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# Suite numérique et leurs convergences

Une **Suite** est une collection **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels.

- **Infinie**: Ne s'arrete pas
- **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante

Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée

Une suite est également une fonction de la forme: 

\\[
    n \mapsto x_n
\\]

où n est l'indice (\\(\in\mathbb{N}\\)) et \\(x_n\\) est l'élément (\\(\in\mathbb{R}\\))

### Rappel

Une [fonction](../logique/fonctions.md) est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre **au plus, un** élément de B
\\[
    f: A \to B: x\mapsto y = x^2
\\]

**Attention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours

### Le domaine d'une suite

Pour trouver le domaine d'une suite, Nous pouvons chercher ses conditions d'éxistences.
Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonnée de départ et le domaine est noté comme suit

- Une **suite** est une fonction tel que
    - \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\)

### Borne ou majoration

On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe
\\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant**

- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
    - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Majorée**,
    - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Minorée**,
        - Alors \\((x\_n)\\) **Converge au sens strict**
    - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Non Majorée**,
        - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\\) 
    - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**,
        - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\) 

- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\):
    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si:
        - \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\)
            - (équivalent à : )  \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\)

**Remarque:** Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0
**Remarque:** Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément

## Convergence 

Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si

1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
    - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)

- \\( (x\_n)\\) **Converge au sens large** 
    - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)

### Convergence vers + ou - \\(\infty\\)

On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs 
pour autant que n soit suffisament grand

La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d'applications

\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)


### Unicitée de la limite

- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
    - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)

### Régles de calculs

1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)

2)  - \\((\frac{1}{n^p}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } p > 0\\)
    - \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)

3)  - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
    - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \text{ si } a = 1\\)
    - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} + \infty \text{ si } a > 1\\)
    - \\((a^n) \text{ ne converge pas si } a \leq -1\\)

- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
        2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
        3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
        2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
        2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
        2) Si \\(a > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
        2) Si \\(a < 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
        2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n > 0\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n < 0\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = 0\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n > 0\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = + \infty\\)
    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n < 0\\)
        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = - \infty\\)

[^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination) 

#### Lever l'indétermination

Lorsqu'un résultat est un cas d'indétermination, ca ne veux pas dire qu'on ne peux pas prévoir ce qu'il va se passer...

On peut avoir:
- \\(x\_n + y\_n \to + \infty\\)
- \\(x\_n + y\_n \to - \infty\\)
- \\(x\_n + y\_n \to a \in \mathbb{R}\\)
- \\(x\_n + y\_n \\) ne converge pas

On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion

### Caractéristique de suites convergentes

- Soit \\((x\_n)\_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\\)
    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Croissante** si
        - \\( \forall n \in I \quad x\_n \leq x\_{n+1}\\)
    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Décroissante** si
        - \\( \forall n \in I \quad x\_n \geq x\_{n+1}\\)

Une **Technique** Pour trouver la croissance d'une suite:

- Tester si la suite est croissante ou décroissante.
    1) Si c'est vrai,
        - la suite est croissante ou décroissante
    2) Si c'est faux,
        - la suite est l'inverse de la préduction 
    3) Si c'est vrai et faux (ex: \\(n \leq 4\\))
        - La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante

## Comparaison des suites

### Théorem de la convergence dominée

Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a

- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
    1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\)
    2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\)
        - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)

- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R} \\)
    1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty\\)
    2) Si \\(\exists n^\ast \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\ast, x\_n \geq y\_n\\)
        - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \pm \infty\\)

### Théorem du Sandwich

- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
    1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\)
    2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
        - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)

## Les sous-suites

Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments

- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
    - \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
        - Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
        - \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
    - Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)

### Propositions: Rapport des sous-suites et des suites 

- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
    - Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
        - Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)

- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
    - Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
        - Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)


### L'exhaustivitée

- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
    - On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
    \\[
        \exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
        \exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
    \\]
        - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)

## Méthode de résolution

### Méthode du monome de plus haut degrés

On divise numérateur et dénominateur par le même \\(n^i\\) de plus haut degré 
Nous obtenons alors des limites plus faciles à gérer par rdc

Dans le cas où les termes sont du type \\(a^n\\) alors on applique la même méthode pour
le |a| le plus grand

## Notations

le terme générale d'une suite est noté
\\[
    \Large{(x_n)_{n \in \mathbb{N}^{\geq k}} \subseteq \mathbb{R}}
\\]

Il n'est pas toujours possible de trouver une formule pour une suite (i.e.: suite de nombre premiers)

On peut aussi définir une suite par récurence.
\\[
    (x_n) _{n \in \mathbb{N}} \quad \begin{cases} &x_0=3 \\\\ &\forall n \in\mathbb{N}\quad x _{n+1}= x_n + 4  \end{cases}
\\]

C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on ajoute 4)

- Une **suite arithmétique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par:
    - \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad  x_{n + 1} = x_n + r \end{cases}\\)
        - r est la raison

\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad  x_n = x_0 + n * r \\]

- Une **suite géométrique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par:
    - \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad  x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\\)
        - q est la raison

\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad  x_n = x_0 * q^n \\]

### Convergence

Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
\\[
    x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a 
\\]

### Partie entière

- La partie entière de \\(x\\) se nôte: \\([x]\\)
    - représente le plus grand entier inférieur à \\(x\\)
        - ex: \\([-5.3] = -6\\)

- L'entiers supérieur de \\(y\\) se nôte: \\(\lceil y \rceil\\)
    - représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\)
        - ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\)

> Pourquoi préférons nous travailler avec des inégalités larges ?
>  - Parce que ca nous permet une plus grande souplesse lors des passage à la limite; Toutes les inéaglités deviennent large au passage à la limite.