some things + relations type + inverted relation
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@ -122,3 +122,54 @@ dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
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- \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\)
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- \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
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3) Revenir au système et trouver S
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### Via le calcul de déterminants
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Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
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#### La méthode de Sarros
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Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
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##### 2x2
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- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2} \\)
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\\[
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\det A =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} &a_{12} \\\\
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a_{21} &a_{22}
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\end{vmatrix}
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= (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
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\\]
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##### 3x3
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- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3} \\)
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\\[
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\det B =
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\begin{vmatrix}
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b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
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b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
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b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
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\end{vmatrix}
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= (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
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\\]
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### La méthode des cofacteurs
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Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
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- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
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- C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
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- On la note \\( M_{ij} \\)
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- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\)
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- On le note \\( C_{ij} \\)
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On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
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- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\)
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- Si on développe la ie Ligne
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- \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\)
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# Mathématique modulaire
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- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
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- On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
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- ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
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- On dit également que b est un multiple de a
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## Algorithme de division d'euclide
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- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
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- \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
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\mathbb{R}
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- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0 \\)
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- On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
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- ssi \\( n \vert (a - b) \\)
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- On note \\( a \equiv_n b \\)
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## La Cryptographie
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Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
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Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
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On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
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### Les nombres premiers
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- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
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- ssi il posséde exactement 2 diviseurs
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- Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)
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Nous avons vu un algorithme nous permettant de voir si un nombre est premier TODO
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src/math/disc/prime.md
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src/math/disc/prime.md
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# Les Nombres Premiers
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- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
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- On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
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- ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
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- On dit également que b est un multiple de a
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## Propositions de division
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- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\)
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a) \\( 1|a \\)
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b) \\( a|0 \\)
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c) \\( a|a \\)
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d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\)
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e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\)
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f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\)
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g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\)
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h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\)
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h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\)
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## Algorithme de division d'euclide
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- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
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- \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
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\mathbb{R}
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- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0 \\)
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- On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
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- ssi \\( n \vert (a - b) \\)
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- On note \\( a \equiv_n b \\)
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## PGCD & PPCM
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- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
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- **PPCM** : Plus petit commun multiple
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On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
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\\[
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PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
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\\]
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On remarque que
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\\[
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a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
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\\]
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Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
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\\[
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a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
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b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
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\\]
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\\[
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PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
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PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
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\\]
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## La Cryptographie
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Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
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Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
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On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
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### Les nombres premiers
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- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
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- ssi il posséde exactement 2 diviseurs
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- Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)
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Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
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\\[ \forall n \in \mathbb{N} 2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\]
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On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
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#### Une infinitée de nombre premiers
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Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
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Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
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mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
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Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
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On aura donc une contradiction
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En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
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On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)
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src/math/disc/relations.md
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src/math/disc/relations.md
Normal file
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# Les Relations
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- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
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- Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
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- \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\)
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- Donc \\( A \times B \neq B \times A \\)
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- Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
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- \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\)
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- Soient \\( a \in A \quad b \in B \\)
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- On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\)
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- noté \\( aRb \\)
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- Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\)
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Par exemple:
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1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \\)
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2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\)
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3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de } B \\} \\)
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4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\)
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## Représentation des relations (finies)
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Par exemple, pour:
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\\[
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A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\}
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\\]
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1) Représentation Cartésienne
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2) Représentation Patate
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3) Représentation Matricielle
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## Types de relations
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- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est
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- **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in A \quad aRa \\)
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- Que tout les éléments sont en relation avec eux même
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- **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\)
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- Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
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- **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa \\)
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- Toutes les relations sont toujours à double sens
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- **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b \\)
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- symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
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**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
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## Relation inverse
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- Soit \\( R \subseteq A \times B \\)
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- La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\} \\)
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La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
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On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique } \\)
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Reference in New Issue
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