fini relations

src/math/disc/relations.md

@@ -151,17 +151,22 @@ Exemple:
     - Soit \\( X \subseteq A \quad a \in A \\) 
         - On dit que a est **une borne supérieure** de x ssi
             - \\( \forall x \in X \quad x \preccurlyeq a \\) 
-
-Conclusion: Une borne supérieur peut:
-1) Ne pas exister
-2) être infini
-3) comprendre des élements dans et hors de l'ens
-
-- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) ensemble ordonné
-    - Soit \\( X \subseteq A \\) Soit \\( a \in A \\) 
+                - Une borne supérieur peut:
+                    1) Ne pas exister
+                    2) être infini
+                    3) comprendre des élements dans et hors de l'ens
         - On dit que a est **supéremum** de X ssi
             - a est le minimum des bornes supérieure de X
-
-- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) ensemble ordonné
     - On dit que cet ensemble est un **Treilli** ssi
         - toute les paire d'éléments de A, \\( \\{ a, b \\} \subseteq A \\) possédent un infinum et un supremum
+    - C'est un ensemble **Bien-Ordonné** ssi
+        - \\( \forall X \subseteq A \quad  X \neq \emptyset \quad X \text{ posède un minimum } \\) 
+        - Ca nous permet par exemple de faire des preuves par inductions
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné
+    - Soit \\( \preccurlyeq \subseteq A^2 \\) un ordre Total sur A.
+        - On dit que \\( \preccurlyeq \\) est **compatible** avec \\( R \\) ssi
+            - \\( \forall a, b \in A \quad aRb \implies a \preccurlyeq b \\) 
+
+Par exemple: Un tri topologique.
+A la manière de la construction d'une maison, On peut y aller dans un ordre qui est "compatible".