adding graphopti

2025-09-19 17:34:25 +02:00
parent 2245c0a6da
commit 10b78a2016
12 changed files with 3293 additions and 0 deletions
--- a/book.toml
+++ b/book.toml
@ -7,3 +7,9 @@ title = "Cours UMONS"

 [output.html]
 mathjax-support = true
+additional-js = ["mermaid.min.js", "mermaid-init.js"]
+
+[preprocessor]
+
+[preprocessor.mermaid]
+command = "mdbook-mermaid"
--- a/mermaid-init.js
+++ b/mermaid-init.js
@ -0,0 +1,35 @@
+(() => {
+    const darkThemes = ['ayu', 'navy', 'coal'];
+    const lightThemes = ['light', 'rust'];
+
+    const classList = document.getElementsByTagName('html')[0].classList;
+
+    let lastThemeWasLight = true;
+    for (const cssClass of classList) {
+        if (darkThemes.includes(cssClass)) {
+            lastThemeWasLight = false;
+            break;
+        }
+    }
+
+    const theme = lastThemeWasLight ? 'default' : 'dark';
+    mermaid.initialize({ startOnLoad: true, theme });
+
+    // Simplest way to make mermaid re-render the diagrams in the new theme is via refreshing the page
+
+    for (const darkTheme of darkThemes) {
+        document.getElementById(darkTheme).addEventListener('click', () => {
+            if (lastThemeWasLight) {
+                window.location.reload();
+            }
+        });
+    }
+
+    for (const lightTheme of lightThemes) {
+        document.getElementById(lightTheme).addEventListener('click', () => {
+            if (!lastThemeWasLight) {
+                window.location.reload();
+            }
+        });
+    }
+})();
--- a/mermaid.min.js
+++ b/mermaid.min.js
--- a/src/SUMMARY.md
+++ b/src/SUMMARY.md
@ -58,6 +58,10 @@
 # Bac3 

 - [Graph. et Opti.]()
+    - [définitions](./bac3/GraphOpti/Definitions.md)
+    - [Représentation](./bac3/GraphOpti/rpz.md)
+    - [Complexité](./bac3/GraphOpti/complexite.md)
+    - [Algos](./bac3/GraphOpti/Algos.md)

 - [Statistiques]()
    - [Introduction](./bac3/Stats/Introduction.md)
--- a/src/bac3/GraphOpti/Algos.md
+++ b/src/bac3/GraphOpti/Algos.md
@ -0,0 +1,40 @@
+# Algos
+
+## Décompisition de graph en niveaux
+
+1) Calculer \\( d^- \\)
+2) incrémenter *layer*
+3) pour chaques sommets, si \\( d^-(s) = 0 \\) alors définir sommets à layer
+4) retirer sommets
+5) recommencer jusqu'a ce qu'il n'y ai plus de sommets à explorer.
+
+Il est possible d'incrémenter layer à chaque fois qu'un sommet est trouvé pour optenir une nouvelle
+numérotation du graph qui respecterait l'ordre.
+
+Cet algo ne fonctionnerais pas pour des graph cycliques.
+
+## Exploration de graph
+
+- Exploration en **Largeur** avec une **file** (BFS)
+- Exploration en **Profondeur** avec une **pile** (DFS)
+
+## Composantes connexes
+
+On parle de composantes connexe comme un sous-graph tel qu'il existe une chaine entre chaques paire
+de sommets.
+
+Un sommet qui augmente les composants connexe si enlevé est appelé un **point d'articulation**
+
+pour un graph non-dirigé: pour chaque sommets, faire une exploration et regrouper les sommets
+visités en composants puis le supprimer pour continuer l'exploration.
+
+Pour un graph dirigé, faire une detection de composantes fortements connexes.
+
+## Détection d'un graph bi-partie
+
+Pour la detection d'un graph bi-partie, il faut pour chaques sommets passer d'une couleur à l'autre.
+si ça n'est pas possible, le graph n'est pas bi-partie.
+
+
+
+
--- a/src/bac3/GraphOpti/Definitions.md
+++ b/src/bac3/GraphOpti/Definitions.md
@ -0,0 +1,42 @@
+# Définitions
+
+- **Un graph**: \\( G = (X, U) \\) où \\( X \\) est l'ensemble de sommets et \\( U \\) est
+  l'ensemble de couple de sommets
+    - **Orienté**: si le sens est pris en compte
+    - **Non-orienté**: sinon
+    - soit \\( u = (x, y) \in U \\) on a que \\( x \\) est le **prédécesseur** et \\( y \\) est le
+      **succésseur**.
+
+Dans le cas d'un **graph orienté**,
+
+- \\( d^+(x) \\) le demi-degré extérieur, le nombre d'axe sortant
+- \\( d^-(x) \\) le demi-degré intérieur, le nombre d'axe entrant
+- \\( d(x) \\) le degré, le nombre d'axe en lien
+
+- La **Densité d'un graph**:
+    - \\( \frac{||U||}{||X||(||X||-1)} \\) en pourcentage si **orienté**.
+    - \\( \frac{2||U||}{||X||(||X||-1)} \\) en pourcentage si **non-orienté**.
+    - Nous avons régulièrement des graphs peu dense.
+
+- Un **Chemin** de largeur q est une séquence d'arc
+- Un **Cycle** si cette chaine boucle
+
+- Un graph **Connexe** possède une lien entre tout sommets.
+    - Si ça n'est pas le cas, il possède des **sous-graph**
+    - Un graph **Fortement connexe** si une chaine existe entre tout sommets 
+
+- Un graph est **Eulérien** s'il passe exactement 1 fois par chaque sommets
+    - Jeu de l'enveloppe
+    - On peut chercher à minimiser le nombre d'arc dans un graph non-eulérien: postier chinois
+
+- Un graph est **Hamiltonien** s'il passe exclusivement une fois par chaques sommets
+    - Voyageur de commerce
+
+- Un graph **Bi-partie** peut être divisé en deux groupe. Les éméteurs et les receveurs.
+
+- Un graph est **Planaire** si on peut lne pas croiser d'arc **dans le plan**
+    - utile pour les circuits imprimés
+    - sa desitée maximale est \\( A_{max} = 3(S-2) \\) 
+
+- Un **Arbre** ne posède pas de cycle. Il est **exactement** convexe
+    - Un ensemble d'arbre est une **Foret**
--- a/src/bac3/GraphOpti/complexite.md
+++ b/src/bac3/GraphOpti/complexite.md
@ -0,0 +1,26 @@
+# Complexité
+
+la **Complexité** \\( A \\) est une fonction non décroissante \\( f_A(k) \\) le nombre
+d'instructions caractéristiques éxécuté par A pour une donnée de taille \\( k \\) 
+
+On parle de la **compléxité d'un problème** lorsque c'est celle du meilleur algo connu pour résoudre
+ce problème.
+
+Un problème d'optimisation est 
+\\[
+    f(s^*) = \min_{s \in S}\\{f(s)\\} 
+\\] 
+
+Un problème d'éxistance est un sous problème d'optimisation ou tq 
+
+Un problème d'optimisation est au moins aussi difficile que le problème d'existance associé
+
+- **facile**: existe un algorithme polynomiale
+- **difficile**: n'existe pas actuellement.
+
+On donne la class **P** aux problèmes polynominaux et **NP** aux problème *vérifiables* en temps
+polynominal.
+
+\\[
+    NP \subseteq P
+\\]
--- a/src/bac3/GraphOpti/complexité.md
+++ b/src/bac3/GraphOpti/complexité.md
@ -0,0 +1 @@
+# Complexité
--- a/src/bac3/GraphOpti/liste_adjacence_pred.jpg
+++ b/src/bac3/GraphOpti/liste_adjacence_pred.jpg
--- a/src/bac3/GraphOpti/liste_dadjacence.png
+++ b/src/bac3/GraphOpti/liste_dadjacence.png
--- a/src/bac3/GraphOpti/liste_dadjacence.svg
+++ b/src/bac3/GraphOpti/liste_dadjacence.svg
@ -0,0 +1,498 @@
+<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
+<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) -->
+
+<svg
+   width="56.683983mm"
+   height="24.667534mm"
+   viewBox="0 0 56.683983 24.667534"
+   version="1.1"
+   id="svg1"
+   sodipodi:docname="liste_dadjacence.svg"
+   inkscape:version="1.4.2 (ebf0e940d0, 2025-05-08)"
+   inkscape:export-filename="liste_dadjacence.svg"
+   inkscape:export-xdpi="96"
+   inkscape:export-ydpi="96"
+   xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"
+   xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd"
+   xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
+   xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg">
+  <sodipodi:namedview
+     id="namedview1"
+     pagecolor="#505050"
+     bordercolor="#eeeeee"
+     borderopacity="1"
+     inkscape:showpageshadow="0"
+     inkscape:pageopacity="0"
+     inkscape:pagecheckerboard="0"
+     inkscape:deskcolor="#d1d1d1"
+     inkscape:document-units="mm"
+     inkscape:connector-spacing="8"
+     inkscape:zoom="3.9408307"
+     inkscape:cx="140.32574"
+     inkscape:cy="52.78075"
+     inkscape:window-width="1910"
+     inkscape:window-height="1040"
+     inkscape:window-x="5"
+     inkscape:window-y="35"
+     inkscape:window-maximized="1"
+     inkscape:current-layer="svg1"
+     showguides="true">
+    <inkscape:page
+       x="0"
+       y="1.182968e-15"
+       width="56.683983"
+       height="24.667536"
+       id="page2"
+       margin="0"
+       bleed="0" />
+  </sodipodi:namedview>
+  <defs
+     id="defs1">
+    <marker
+       style="overflow:visible"
+       id="ArrowWide"
+       refX="0"
+       refY="0"
+       orient="auto-start-reverse"
+       inkscape:stockid="Wide arrow"
+       markerWidth="1"
+       markerHeight="1"
+       viewBox="0 0 1 1"
+       inkscape:isstock="true"
+       inkscape:collect="always"
+       preserveAspectRatio="xMidYMid">
+      <path
+         style="fill:none;stroke:context-stroke;stroke-width:1;stroke-linecap:butt"
+         d="M 3,-3 0,0 3,3"
+         transform="rotate(180,0.125,0)"
+         sodipodi:nodetypes="ccc"
+         id="path1" />
+    </marker>
+  </defs>
+  <rect
+     style="opacity:0.99;fill:#ffffff;fill-opacity:0.148131;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.121988;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+     id="rect11"
+     width="56.562"
+     height="24.545538"
+     x="0.060988639"
+     y="0.060994796"
+     inkscape:export-filename="liste_dadjacence.png"
+     inkscape:export-xdpi="96"
+     inkscape:export-ydpi="96" />
+  <g
+     inkscape:label="Layer 1"
+     inkscape:groupmode="layer"
+     id="layer1"
+     transform="translate(-76.657815,-136.16624)">
+    <g
+       id="g11"
+       transform="translate(17.227086,-3.6865978)"
+       inkscape:export-filename="liste_dadjacence.svg"
+       inkscape:export-xdpi="96"
+       inkscape:export-ydpi="96">
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect1"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="73.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true"
+         inkscape:export-filename="liste_dadjacence.svg"
+         inkscape:export-xdpi="96"
+         inkscape:export-ydpi="96" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:5.64444px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="61.700718"
+         y="150.38524"
+         id="text1"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan1"
+           style="font-size:5.64444px;line-height:1.25;stroke-width:0.264583"
+           x="61.700718"
+           y="150.38524">Head</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect6"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="78.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect7"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="83.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect8"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="88.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect9"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="98.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect10"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="93.681824"
+         y="146.02863"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="75.597572"
+         y="149.68181"
+         id="text11"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan11"
+           x="75.597572"
+           y="149.68181"
+           style="stroke-width:0.264583">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.156601"
+         y="149.68181"
+         id="text14"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan14"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="80.156601"
+           y="149.68181">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="85.176003"
+         y="149.68181"
+         id="text15"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan15"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="85.176003"
+           y="149.68181">7</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="90.176003"
+         y="149.68181"
+         id="text16"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan16"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="90.176003"
+           y="149.68181">7</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="100.17248"
+         y="149.68004"
+         id="text17"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan17"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.17248"
+           y="149.68004">8</tspan><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.17248"
+           y="154.08975"
+           id="tspan18" /></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="95.176003"
+         y="149.68181"
+         id="text19"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan19"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="95.176003"
+           y="149.68181">7</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect19"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="73.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:5.64444px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="61.700718"
+         y="160.54333"
+         id="text20"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan20"
+           style="font-size:5.64444px;line-height:1.25;stroke-width:0.264583"
+           x="61.700718"
+           y="160.54333">Succ</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect20"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="78.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect21"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="83.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect22"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="88.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect23"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="98.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect24"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="93.681824"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="75.116035"
+         y="159.8593"
+         id="text24"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan24"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="75.116035"
+           y="159.8593">2</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.184822"
+         y="159.83636"
+         id="text25"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan25"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="80.184822"
+           y="159.83636">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="85.156601"
+         y="159.8399"
+         id="text26"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan26"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="85.156601"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="90.597572"
+         y="159.8399"
+         id="text27"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan27"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="90.597572"
+           y="159.8399">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="95.184822"
+         y="159.83636"
+         id="text28"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan28"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="95.184822"
+           y="159.83636">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="100.1566"
+         y="159.8399"
+         id="text29"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan29"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.1566"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="105.1566"
+         y="159.8399"
+         id="text30"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan30"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="105.1566"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect30"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="103.68182"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 76.153196,150.97137 v 5.21535"
+         id="path30"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect1"
+         inkscape:connection-end="#rect19" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 83.586106,150.97137 5.134181,5.21535"
+         id="path31"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect6"
+         inkscape:connection-end="#rect22"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 93.624569,150.17363 10.057251,6.81084"
+         id="path32"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect8"
+         inkscape:connection-end="#rect30"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+         d="m 96.153196,148.5 v 0"
+         id="path33"
+         inkscape:connector-type="orthogonal"
+         inkscape:connector-curvature="6"
+         inkscape:connection-start="#rect10"
+         inkscape:connection-end="#rect10" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 98.586106,150.97137 5.134184,5.21535"
+         id="path34"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect10"
+         inkscape:connection-end="#rect30"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect35"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="108.68182"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 103.58611,150.97137 5.13418,5.21535"
+         id="path35"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-end="#rect35"
+         sodipodi:nodetypes="cc"
+         inkscape:connection-start="#rect9" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="75.708694"
+         y="145.13986"
+         id="text2"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan2"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="75.708694"
+           y="145.13986">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.323463"
+         y="145.1554"
+         id="text3"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan3"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="80.323463"
+           y="145.1554">2</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="85.378494"
+         y="145.13704"
+         id="text4"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan4"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="85.378494"
+           y="145.13704">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="90.355911"
+         y="145.13986"
+         id="text5"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan5"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="90.355911"
+           y="145.13986">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="95.371437"
+         y="145.12294"
+         id="text6"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan6"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="95.371437"
+           y="145.12294">5</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="100.36861"
+         y="145.13846"
+         id="text7"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan7"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.36861"
+           y="145.13846">6</tspan></text>
+    </g>
+  </g>
+</svg>
--- a/src/bac3/GraphOpti/rpz.md
+++ b/src/bac3/GraphOpti/rpz.md
@ -0,0 +1,32 @@
+# Représentation
+
+Les graphs peuvent être représenté à l'aide de matrice d'adjacence tel que
+\\[
+    \begin{cases}
+        (i, j) = 1 &\text{ si } (i,j) \in U\\\\
+        0 &\text{ sinon }
+    \end{cases}
+\\]
+
+On y trouve facilement les successeurs en ligne et les prédécesseurs en colones. Mais il faut faire
+énormément d'opérations pour vérifier un sommet...
+
+Nous adoptons alors les **listes d'adjacences**. Cette structure possède 2 liste. Une est la
+tête (head) et possède autant d'espace que de sommets et est remplie avec des pointeurs vers la
+deuxième liste, celle-ci contient les successeurs d'un sommet.
+
+![liste d'adjacence](./liste_dadjacence.png)
+
+On peut alors transformer la liste de successeurs en liste de prédécésseurs
+
+1) calculer \\( d^- \\) 
+2) placer dans le nouveau head \\( 1 + \sum^j_i d^-_i\\) où j est la position
+3) pour chaques arcs \\( (i,j) \\) dans l'ordre de succ,
+    1) réduire \\( Head_j \\) de 1
+    2) placer i dans \\( Pred_{(Head_j)} \\) 
+
+![list d'adjacence_pred](liste_adjacence_pred.jpg)
+
+
+**Remarque**: une fois un graph sous cette forme il est souvent plus difficile de le remttre sous
+forme de dessin car les nodes n'ont pas de place définies.