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book.toml

@@ -7,3 +7,9 @@ title = "Cours UMONS"
 
 [output.html]
 mathjax-support = true
+additional-js = ["mermaid.min.js", "mermaid-init.js"]
+
+[preprocessor]
+
+[preprocessor.mermaid]
+command = "mdbook-mermaid"

mermaid-init.js

@@ -0,0 +1,35 @@
+(() => {
+    const darkThemes = ['ayu', 'navy', 'coal'];
+    const lightThemes = ['light', 'rust'];
+
+    const classList = document.getElementsByTagName('html')[0].classList;
+
+    let lastThemeWasLight = true;
+    for (const cssClass of classList) {
+        if (darkThemes.includes(cssClass)) {
+            lastThemeWasLight = false;
+            break;
+        }
+    }
+
+    const theme = lastThemeWasLight ? 'default' : 'dark';
+    mermaid.initialize({ startOnLoad: true, theme });
+
+    // Simplest way to make mermaid re-render the diagrams in the new theme is via refreshing the page
+
+    for (const darkTheme of darkThemes) {
+        document.getElementById(darkTheme).addEventListener('click', () => {
+            if (lastThemeWasLight) {
+                window.location.reload();
+            }
+        });
+    }
+
+    for (const lightTheme of lightThemes) {
+        document.getElementById(lightTheme).addEventListener('click', () => {
+            if (!lastThemeWasLight) {
+                window.location.reload();
+            }
+        });
+    }
+})();

src/SUMMARY.md

@@ -1,42 +1,68 @@
 # Summary
 
--[Introduction](./intro.md)
+-[Introduction](./bac1/intro.md)
 
-# Mathématiques
-- [Rappel](./math/rappel/flux.md)
-- [Logique](./math/logique/summary.md)
-	- [implication](./math/logique/implication.md)
-	- [induction](./math/logique/induction.md)
-	- [Ensembles](./math/logique/ensembles.md)
-	- [Fonction, Domaine et Image](./math/logique/fonctions.md)
-	- [Technique de preuve](./math/logique/preuves.md)
-- [Inéquations](./math/ineq/summary.md)
-	- [Second Degrés](./math/ineq/second_degres.md)
-	- [Valeurs Absolue](./math/ineq/abs.md)
-	- [Racines carrées](./math/ineq/sqrt.md)
-- [Géométrie](./math/geo/summary.md)
-	- [Les Vecteurs](./math/geo/vecteurs.md)
-	- [Les Droites](./math/geo/droites.md)
-	- [Les Systems](./math/geo/systems.md)
-	- [Les Plans](./math/geo/plans.md)
-- [Calculus](./math/calculus/index.md)
-    - [Suite numérique et leurs convergences](./math/calculus/chap1.md)
-    - [Limites de fonctions](./math/calculus/chap2.md)
-    - [Dérivabilité des fonctions](./math/calculus/chap3.md)
-    - [Développement de Taylor](./math/calculus/chap4.md)
-- [Algèbre Linéaire](./math/all/index.md)
-    - [Espaces Euclidiens ?](./math/all/chap1.md)
-# Physique générale I
-- [Mecanique](./phys/meca/index.md)
-	- [Chapitre 1](./phys/meca/chap1.md)
-# Informatique
-- [Algo1](./info/algo1/index.md)
-- [Algo2](./info/algo2/index.md)
-- [fonctionnement des ordinateurs](./info/fdo/index.md)
-    - [Intro](./info/fdo/chap1.md)
-    - [Representation des donnees](./info/fdo/chap2.md)
-    - [Conception logique](./info/fdo/chap3.md)
-    - [Processeur mono-cycles](./info/fdo/chap4.md)
-    - [Assemblage et Compilation](./info/fdo/chap5.md)
-    - [Entrees et sorties](./info/fdo/chap6.md)
-    - [Hierarchie des memoires](./info/fdo/chap7.md)
+# Bac1
+<!-- - [Mathématiques]() -->
+<!--     - [Rappel](./bac1/math/rappel/flux.md) -->
+<!--     - [Logique](./bac1/math/logique/summary.md) -->
+<!--         - [implication](./bac1/math/logique/implication.md) -->
+<!--         - [induction](./bac1/math/logique/induction.md) -->
+<!--         - [Ensembles](./bac1/math/logique/ensembles.md) -->
+<!--         - [Fonction, Domaine et Image](./bac1/math/logique/fonctions.md) -->
+<!--         - [Technique de preuve](./bac1/math/logique/preuves.md) -->
+<!--     - [Inéquations](./bac1/math/ineq/summary.md) -->
+<!--         - [Second Degrés](./bac1/math/ineq/second_degres.md) -->
+<!--         - [Valeurs Absolue](./bac1/math/ineq/abs.md) -->
+<!--         - [Racines carrées](./bac1/math/ineq/sqrt.md) -->
+<!--     - [Géométrie](./bac1/math/geo/summary.md) -->
+<!--         - [Les Vecteurs](./bac1/math/geo/vecteurs.md) -->
+<!--         - [Les Droites](./bac1/math/geo/droites.md) -->
+<!--         - [Les Systems](./bac1/math/geo/systems.md) -->
+<!--         - [Les Plans](./bac1/math/geo/plans.md) -->
+<!--     - [Calculus](./bac1/math/calculus/index.md) -->
+<!--         - [Suite numérique et leurs convergences](./bac1/math/calculus/chap1.md) -->
+<!--         - [Limites de fonctions](./bac1/math/calculus/chap2.md) -->
+<!--         - [Dérivabilité des fonctions](./bac1/math/calculus/chap3.md) -->
+<!--         - [Développement de Taylor](./bac1/math/calculus/chap4.md) -->
+<!--     - [Algèbre Linéaire](./bac1/math/all/index.md) -->
+<!--         - [Les Espaces Vectoriels](./bac1/math/all/chap1.md) -->
+<!--         - [Application Linéaire](./bac1/math/all/chap2.md) -->
+<!--         - [Valeur/Vecteur/Espaces propres](./bac1/math/all/vpropres.md) -->
+<!--         - [Les Matrices](./bac1/math/all/matrix.md) -->
+<!--     - [Math Discrète](./bac1/math/disc/index.md) -->
+<!--         - [Initiation à la théorie des graphe](./bac1/math/disc/graph.md) -->
+<!--         - [Nombres Premiers](./bac1/math/disc/prime.md) -->
+<!--         - [Les Relations](./bac1/math/disc/relations.md) -->
+<!--         - [Preuve par Induction](./bac1/math/disc/induction.md) -->
+<!-- - [Physique générale I]() -->
+<!--     - [Mecanique](./bac1/phys/meca/index.md) -->
+<!--         - [Chapitre 1](./bac1/phys/meca/chap1.md) -->
+<!--     - [Electromagnétisme](./bac1/phys/elec/index.md) -->
+<!--         - [Les Forces Electriques](./bac1/phys/elec/chap1.md) -->
+<!-- - [Informatique]() -->
+<!--     - [Algo1](./bac1/info/algo1/index.md) -->
+<!--     - [Algo2](./bac1/info/algo2/index.md) -->
+<!--     - [fonctionnement des ordinateurs](./bac1/info/fdo/index.md) -->
+<!--         - [Intro](./bac1/info/fdo/chap1.md) -->
+<!--         - [Representation des donnees](./bac1/info/fdo/chap2.md) -->
+<!--         - [Conception logique](./bac1/info/fdo/chap3.md) -->
+<!--         - [Processeur mono-cycles](./bac1/info/fdo/chap4.md) -->
+<!--         - [Assemblage et Compilation](./bac1/info/fdo/chap5.md) -->
+<!--         - [Entrees et sorties](./bac1/info/fdo/chap6.md) -->
+<!--         - [Hierarchie des memoires](./bac1/info/fdo/chap7.md) -->
+<!-- - [Economie]() -->
+<!--     - [Chapitre 1 - Introduction à l'économie](./bac1/eco/chap1.md) -->
+<!--     - [Chapitre 2 - Comprendre le fonctionnement des marchés](./bac1/eco/chap2.md) -->
+
+# Bac3 
+
+- [Graph. et Opti.]()
+    - [définitions](./bac3/GraphOpti/Definitions.md)
+    - [Représentation](./bac3/GraphOpti/rpz.md)
+    - [Complexité](./bac3/GraphOpti/complexite.md)
+    - [Algos](./bac3/GraphOpti/Algos.md)
+
+- [Statistiques]()
+    - [Introduction](./bac3/Stats/Introduction.md)
+    - [Statistique déscriptive](./bac3/Stats/StatDesc.md)

src/bac1/eco/chap1.md

@@ -0,0 +1,51 @@
+# Introduction à l'économie
+
+> Cette partie ne sert pas car n'est pas dans l'examen pour les infos
+
+
+## Scope
+
+- Quelle quantité produire, a quel prix, comment, facteur de production, d'emploi pour les entreprises
+- Consomation, rôles des différents facteurs (prix, pub, ...) peuvent jouer?
+- Comprendre comment concilier consommation et production.
+
+### Raretée
+
+La raretée dépend de l'écart entre ce que veulent les gens et ce qui peut être produit
+
+- Désir de consomation illimité mais resources limitées
+- 3 facteurs de productions
+    - Travail (limite quantitative et qualitative)
+    - Capital (limite quantitative et qualitative)
+    - Resources
+
+Nous étudions alors comment consommateurs et producteur
+
+## Branches d'études
+
+### La macroéconomie
+
+étude de l'économie comme un tout (PIB, Inflation, Chômage).
+Utilisation optimale des resources comme le chômage, ...
+Dans une optique de croissance durable de l'ensemble de la production
+
+- DG > OG => risque d'inflation, déficit éxtérieurs
+- DG < OG => risque de récéssion, chomage
+
+Le but de la macroéconomie est d'assurer OG = DG via politiques de demande et d'offre
+et une armonie dans la croissance d'OG et DG
+
+### La microéconomie
+
+Etudie l'offre et la demande de biens spécifiques
+
+Répond à 3 questions:
+- Que produire, en quelle quantités?
+- comment produire. Techniques, resources, ...
+- pour qui produire, comment distribuer?
+
+les choix impliquent des sacrificess. la production d'un bien entraine le sacrifice d'au moins un autre.
+Ces choix doivent être rationnels. La comparaison entre cout mariginal (Cm) et bénéfices marginal (Bm).
+- Bm > Cm => intensification de l'activitée
+- Bm < Cm => réduction de l'activitée
+

src/bac1/eco/chap2.md

@@ -0,0 +1,77 @@
+# Comprendre le fonctionnement des marchés
+
+## La demande
+
+Quantitée demandée qu'un consommateur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Demande de marchés = \\( \sum \\) demandes individuelles 
+
+### Loi de la demande
+
+Si le prix augmente, la quantitée demandée diminue:
+- l'éffet revenu: Prix augmente => pouvoir d'achat diminue => Qd augmente/diminue en fct du type de bien
+- l'effet substitution: Prix augmente => Qd diminue et Qd d'autres biens augmente 
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement la demande.
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente négative
+
+\\[
+    Qd = f(P, ...) \\\\
+    Qd = a - b * P
+\\]
+ 
+où ... = gouts, prix et nombre de biens substituts, ...
+
+où a est l'intercept et -b la pente (= dQd/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée demandée change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qd augmente
+- vers la gauche si la Qd diminue 
+
+## L'offre
+
+Quantitée offerte qu'un producteur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Offre de marchés = \\( \sum \\) offres individuelles 
+
+### Loi de l'offre 
+
+Si le prix augmente, la quantitée offerte augmente:
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement l'offre
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente positive 
+
+\\[
+    Qo = f(P, ...) \\\\
+    Qo = c + d * P
+\\]
+ 
+où ... = couts de prod, profitabilité, chocs aléatoires, anticipations, ...
+
+où c est l'intercept et d la pente (= dQo/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée offerte change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qo augmente
+- vers la gauche si la Qo diminue 
+
+## Le prix et quantitée échangée à l'équilibre
+
+- Qd > Qo, (Pénurie) => Prix augmente => Qd diminue et Qo augmente
+- Qd < Qo, (Surplus) => Prix diminue => Qd augmente et Qo diminue
+- Qd = Qo, (Equilibre) => aucune pression sur P
+
+L'équilibre d'un marché est attein par régulation des prix par les lois d'offre et de demande

src/bac1/intro.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Introduction

src/bac1/math/all/chap1.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Espaces Vectoriels
+
+## Etudions \\( R^2 \\)
+
+- \\(R^2\\) est un ensemble tq \\( \\{ (a,b)  \vert a \in \mathbb{R} \land b \in \mathbb{R} \\} \\)
+
+## Sous-Espaces Vectoriels
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R} ^n\\)
+    - On dit que V est un **Sous-Ensemble Vectoriel** de \\(\mathbb{R}^n\\) ssi
+        1) \\(V \neq \emptyset \\)
+        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V \quad v_1 + v_2 \in V \\)
+        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \quad \lambda v \in V \\)
+
+On peut voir par example que pour \\(\mathbb{R}^3\\) nous avons comme sous-ensemble vectoriel (SEV):
+- \\(\\{(0,0)\\}\\) (L'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda \in \mathbb{R} \vert \lambda(x, y)\\}\\) (une droite passant par l'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda , \mu \in \mathbb{R} \vert \lambda(x_1, y_1) + \mu(x_2,y_2)\\}\\) (un plan passant par l'origine du repère)
+- \\( \mathbb{R}^3 \\) (l'ensemble lui même)
+
+et nous pouvons ettendre cette definition pour \\(\mathbb{R}^N\\)
+
+## Combinaisons linéaires
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n\\) un SEV
+    - Soient \\(v_1, ..., v_k \in \mathbb{R} \quad \text{Soit } v \in V\\)
+        - On dit que \\(v \\) est une **Combinaison Linéaire** de \\(v_1, ..., v_k\\)
+            - Ssi \\(\exists \lambda_1, ...,  \lambda_k \in \mathbb{R} \quad v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\)
+> - Examples
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^2 \quad (2,3)\\) est une **combinaison linéaire** de (1,0) et (0,1).
+>         - On peut multiplier (1,0) par 2 et (0,1) par 3.
+> - Contre-Example
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^3 \quad (1,2,3)\\) n'est pas **combinaison linéaire** de (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)
+>         - Le système d'équation n'a pas de solutions (3 = 0 est faux) donc imposible, Aucuns réel ne peux multiplier ces vecteurs pour donner (1,2,3)
+
+- Soient \\( v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - L'**espace vectoriel** engendré par \\(v_1 ... v_k\\), noté \\(<v_1 ... v_k>\\) est l'ensemble des combinaisons linéaire de \\(v^1...v^k\\)
+        - \\(<v_1 ... v_k> = \\{(x_1, ..., x_k) \in \mathbb{R}^n \vert \exists \lambda_1 \in \mathbb{R}...\exists\lambda_k \in \mathbb{R} (x_1, ..., x_k) = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\}\\)
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soit \\(v_1 ... v_k \in V\\)
+        - On dit que \\(\\{v_1 ... v_k\\}\\) est **une partie (ou famille) génératrice** de V
+            - SSI \\(V = <v_1 ... v_k>\\)
+> - Example
+>     - \\(\\{(1,0,0), (1,0,1)\\}\\) est **une famille génératrice** de \\(<(1,0,0), (1,0,0)>) = \\\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \vert x_2 = 0\\}\\)
+
+Le fait d'ajouter plus de vecteurs que nécéssaires est possible mais n'est pas recommendé car celà ajoute de la complexitée et/ou de l'ambiguitée
+lors de la combinaisons des vecteurs.
+Il pourrait alors y avoir plusieurs combinaisons différentes pour la même solutions
+
+## Dépendance linéaire
+
+Qu'est ce que des vecteur linéairement dépendants ?
+
+- Soient \\(v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement dépendant**
+        - SSI \\(\exists \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R}\\) **non-tous nuls**
+            - tel que \\(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k = \vec{0}\\)
+                - C'est un ensemble de vecteurs tel que le vecteurs nul en est leurs combinaison linéaire (ou les facteurs sont différents de tous 0)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement indépendant**
+        - SSI \\( \forall \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i vi = 0 \implies \lambda_1 = ... = \lambda_k = 0 \\) 
+            - La seule combinaison linéaire pour obtenir le vecteur nul est de multiplier tout les vecteurs par 0
+
+Un ensemble de vecteurs linérairement indépendant est appelé une **Partie ou famille libre **
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application linéaire tq \\( Ker(L) = {0} \\) 
+    - Si \\( \\{ v_1, ... v_k \\} \\) est une famille libre dans \\( V_1 \\) 
+        - Alors \\( \\{ L(v_1), ..., L(v_2) \\} \\)  est une famille libre dans \\( V_2 \\) 
+
+## Base
+
+- Soit \\( V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soient \\( v_1, ..., v_k \in V \\) 
+        - On dit que \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **base de V** ssi, et
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille libre**
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille génératrice de V**
+    - B_1 et B_2 des bases de V:
+        - \\( |B_1| = |B_2| \\) 
+
+- Soit \\( V \subset \mathbb{R}^n \\) 
+    - Soit \\( B \text{ une Base de } V \\) constituée de \\( k \\) éléments
+        - On dit que V est de **Dimention** k. noté \\( dim(V) = k \\) 
+
+- Soit \\( V \\) un sous-espace vectoriel de \\( \mathbb{R}^n \\)
+    - Soit \\( B: \\{ v_1, ..., ...v_k \\} \\) une base de V.
+        - Soit \\( v \in V \quad v = \lambda_1 * v_1 + ... + \lambda_k * v_k \\) 
+            - \\( (\lambda_1, ..., \lambda_k) \\) sont **les coordonées de v dans la base B**
+
+

src/bac1/math/all/chap2.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+# Application Linéaire
+
+Nous parlons maintenant de fonctions.
+
+Nous avons vu les fonctions:
+
+- **Injective**: \\( \forall a_1, a_2 \in A \quad  a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\\) 
+- **Surjective**: \\( \forall b \in B \exists a \in A \quad f(a) = b \\)  (Tout les points sources ont une destination)
+- **Bijective**: Injective & Surjective
+
+[Rappels Fonctions](/math/logique/fonctions.md)
+
+## Application Linéaire
+
+- Soient \\( V_1, V_2 \subseteq \mathbb{R}^n \\)
+    - On dit que \\( L: V_1 \to V_2\\) est une **Application Linéaire**  ssi
+        1) \\( \forall u, v \in V_1 \quad L(u+v) = L(u) + L(v) \\) 
+        2) \\( \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad L(\lambda v) = \lambda L(v) \\) 
+
+| Exemples  | Contre-Exemples |
+| --------- | --------------- |
+| L(x) = x  | L(x) = \|x\|    |
+| L(x) = 2x | L(x) = 2x + 1   |
+|           | L(x) = x²       |
+|           | L(x) = sin(x)   |
+
+## Image et Noyaux
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application Linéaire
+    - \\( Ker(L) = \\{ v \in V_1 \mid L(v)=0 \\} \\) Noyau de L
+    - \\( Im(L) = \\{ v \in V_2 \mid \exists u \in V_1 \quad L(u) = v \\} \\) Image de L
+
+### Théorem du Rang
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) 
+    - \\( Dim(Ker(L)) + Dim(Im(L)) = Dim(V_1) \\) 
+
+## Matrice → Application Linéaire
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times m} \\) 
+    - L'application linéaire associée à \\( M \\) notée \\( L_M \\) 
+        - \\( L_M : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \quad \text{ définit par } L_M(v)= \underset{n \times m}{M} \cdot \underset{m \times 1}{v} \\) 
+
+## Application Linéaire → Matrice
+
+\\[
+    L: V_1 \to V_2 \leadsto M_L^{B_1 \to B_2}
+\\]
+
+1) Choisir une Base \\( B_1 = \\{ e_1, ..., e_n \\} \text{ de } V_1 \text{ et } B_2 = \\{ E_1, ..., E_k \\} \text{ de } V_2\\)
+2) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, calculer} L(e_i)\\) 
+3) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, exprimer } L(e_i) \text{ comme combi. li. de } E_1 ... E_k \\)
+4) Transformation en matrice 
+5) On peut ensuite faire un "Sanity Check" en fesant l'opération inverse
+
+## Composé d'application linéaires
+
+On parle de \\( L_2 \circ L_1 \\) pour \\( L: V_1 \to V_2 \to V_3 \\)
+
+On veut \\( M_{L_2 \circ L_1}^{B_1 \to B_3} \\)
+
+Pour ca on fait : \\( M_{L_2}^{B_2 \to B_3} * M_{L_2}^{B_1 \to B_2} \\) 

src/bac1/math/all/matrix.md

@@ -0,0 +1,217 @@
+# Les Matrices
+
+On considére un system:
+
+\\[
+    \begin{cases}
+        x - 2y + 3z = 4 \\\\
+        2x + y - 4z = 3 \\\\
+        -3x + 5y -z = 0 
+    \end{cases}
+\\]
+
+Un système est caractérisé par ses cohéfficients et par les thermes indépendants.
+Les nombres sont placés à des positions bien précises.
+On peut représenter ces nombres dans un tableau
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        1   &-2 &3  &4 \\\\
+        2   &1  &-4 &3 \\\\
+        -3  &5  &-1  &0
+    \end{pmatrix}
+    \text{ On dit que M est une matrice de taille } 3 * 4
+\\]
+
+Une matrice de taille \\( m * n \quad  (m,n \in \mathbb{N}_ 0 ) \\) est un tableau
+dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\\\
+        a_{21} &a_{22} &\cdots &\vdots \\\\
+        \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
+        a_{m1} &\cdots &\cdots &a_{mn}
+    \end{pmatrix}
+    a_{23} \text{ est situé 2e ligne, 3e colonne } \\\\
+    A = (a_{ij} a_{ij} \text{ est un terme de } A)
+\\]
+
+## Operations sur les matrices
+
+### Egalitée
+
+ \\( A = B \iff A \text{ et } B \\) ont la même taille et \\( a_{ij} = b_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+### Transposition
+
+\\( A^t \\)  est la matrice dont les lignes et les colonnes de \\( A \\)  sont inversée
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        1 &2 \\\\
+        3 &4
+    \end{pmatrix}
+    A^t = \begin{pmatrix}
+        1 &3 \\\\
+        2 &4
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit par un scalaire
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{m * n} \quad k \in \mathbb{R}   \\) 
+    - La matrice \\( k * a \\) est une matrice \\( B \\) de taille \\( m * n \\) tel que
+        - \\( b_{ij} ka_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    2\begin{pmatrix}
+        1 &2 &3\\\\
+        4 &5 &6
+    \end{pmatrix}
+    = \begin{pmatrix}
+        2 &4 &6\\\\
+        8 &10 &12
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit de 2 matrices
+
+
+\\[
+    A * B = C \quad 
+    \begin{align}
+        c_{ij} &= a_{ij} * b_{ij} + ... a_{in} * b_{nj} \\\\
+        &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} * b_{kj}
+    \end{align}
+\\] 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        2 &1 &-1 \\\\
+        3 &0 &2
+    \end{pmatrix} * 
+    \begin{pmatrix}
+        1 \\\\
+        -2 \\\\
+        2 
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        2 - 2 - 2 \\\\
+        3 + 0 + 4
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        -2 \\\\
+        7
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+## Résoudre des système d'équation
+
+### Via l'échelonnement des matrices
+
+1) \\( [A | B] \\)  (A augmenté de B)
+2) Echeloner notre matrice ( Grace aux transformations elementaires ci-dessous )
+    - \\( L_i \leftrightarrow  L_j\\) (Echange de lignes)
+    - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) 
+    - \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
+3) Revenir au système et trouver S
+
+### Via le calcul de déterminants
+
+Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
+
+#### La méthode de Sarros
+
+Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
+
+##### 2x2
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2}  \\) 
+\\[
+    \det A = 
+    \begin{vmatrix}
+        a_{11} &a_{12} \\\\
+        a_{21} &a_{22}
+    \end{vmatrix}
+    = (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
+\\]
+
+##### 3x3 
+
+- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3}  \\) 
+\\[
+    \det B = 
+    \begin{vmatrix}
+        b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
+        b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
+        b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
+    \end{vmatrix}
+        = (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
+\\]
+
+### La méthode des cofacteurs
+
+Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
+
+- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
+    - C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
+        - On la note \\( M_{ij} \\) 
+
+- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\) 
+    - On le note \\( C_{ij} \\) 
+
+On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\) 
+    - Si on développe la ie Ligne
+        - \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\) 
+
+#### Inverse d'une matrice
+
+Sachant que l'inverse d'un réel \\( x \\) est \\( x^{-1}  \\) tel que \\( x * x^{-1} = 1\\) 
+
+On peut étendre cette définition aux matrice pour que \\( A * A^{-1} * A = \mathbb{I}  \\) 
+Une matrice nxn est inversible ssi \\( \det A \neq 0 \\) 
+
+On peut trouver cette matrice inverse à l'aide de la matrice ompagnon.
+1) On vérifie que le détérminanat est différent de 0
+2) On applique des transformations élémentaires sur A et sur \\( \mathbb{I} \\) en même temps jusqu'a transformer \\( A \text{ en } \mathbb{I}\\) 
+
+> Mais comment utiliser la matrice inverse pour résoudre un system?
+
+On sait que \\( A \cdot x = b \\) est la représentation d'un système en matrice.
+\\[
+\begin{align}
+    A*x &= b \\\\
+    A^{-1} * A * x &= A^{-1} * b \\\\
+    \mathbb{I} * x &= A^{-1} * b \\\\
+    x &= A^{-1} * b
+\end{align}
+\\]
+
+où x est la matrice de variable, on aura donc nos solutions directement en mutlipliant nos matrices
+
+
+## Diagonalisation
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times n} \\) 
+    - On dit que M est **Diagonale** ssi
+        - \\( \forall i, j \quad i \neq j \implies a_{ij} = 0 \\) 
+
+donc de la forme
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        x &0 &0\\\\
+        0 &y &0\\\\
+        0 &0 &z\\\\
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+Remarque: Diagonaliser une matrice associée à \\( L : V \to V \\) revient à trouver une base de V constituée de [vecteur propres](./vpropres.md) de L

src/bac1/math/all/vpropres.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# Valeur/Vecteur/Espaces propres
+
+- Soit \\( M \\) une matrice \\( n \times n \\). Soit \\( L: V \to V \\) une application linéaire
+    - Soit \\( v \in V \\) un vecteur **Non-Nul**.
+        - On dit que \\( v \\) est un **vecteur propre** de \\( L/M \\) ssi
+            - \\( \exists \lambda \in \mathbb{R} \quad L(v) = \lambda v / Mv = \lambda v \\) 
+                - Ce \\( \lambda est la **valeur propre** associée à v \\) 
+                    - l'ensemble des vecteurs propres d'une valeur propres est **un espace propre**
+
+En passant par les matrice, on a bien que \\( Mv = \lambda v \\) et on peut transformer cette equation en \\( (M - \lambda 𝟙 )* v = 0 \\) 
+
+Pour isoler lambda on peut alors faire \\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\) qui nous permet alors de trouver les vecteurs et espaces propres
+
+## Diagonalisable
+
+- Soit \\( L : V \to V \quad dim(V) = n \\) 
+    - L est [**Diagonalisable**](./matrix.md#diagonalisation) ssi
+        - Il existe n vecteurs propres de L linéairement indépendants
+
+- Donc toutes les matrices ne sont pas diagonalisables!
+    - Si pas dans \\( \mathbb{R} \\) pour être dans les complexes
+    - attention aux dimentiosn de l'éspaces propre
+
+1) Trouver les valeurs propres
+    1) calculer le détérminant du polynome caractéristique 
+        - les valeurs pour lequels ce det est = 0 alors lambda sont nos valeurs propres\\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\)
+        - pour chaques lambdas, calculer sa multiplicité
+    2) Vérifier que les lambdas sont bien dans les réels
+    3) Trouver les espaces propres (ensemble de tout les vecteurs propres) 
+        - pour chauques lambdan calculer \\( M - \lambda 𝟙 = 0\\) 
+    4) Vérifier \\( dim(E_i) = k_i \\) si pas, M n'est pas diagonalisable
+    5) Calculer la matrice diagonale
+        - Retourner la matrice diagonale dont la ligne de diagonale est composée des valeurs propres \\( \lambda_ i \\) , chacune répétée \\( k_i \\)  fois
+            - Cette matrice de L a pour base les vecteurs propres de chaques \\( lambda_i \\) dans l'ordre mis dans la matrice

src/bac1/math/disc/graph.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# Initiation à la théorie des graphe
+
+- Un **Graphe non-orienté**, noté \\(G = (S, A)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble d'arêtes (noté A).
+    - Une arête est une paire des sommets
+- Un **Graphe orienté**, noté \\(G = (S, F)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble de flèches (noté F).
+    - Une flèche est un couple des sommets.

src/bac1/math/disc/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Math Discrète

src/bac1/math/disc/induction.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Preuve par induction
+
+Le but est de prouver les propriètés du type: 
+\\[
+    \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n)
+\\]
+ 
+
+## Induction Faible
+
+1) Cas de base: \\( P(0) \\) 
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 
+
+## Induction Forte
+
+1) Cas de base: \\( P(0) ... P(n) \\) (à déterminer en fonction du cas général)
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(0) \land ... \land P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 

src/bac1/math/disc/prime.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Nombres Premiers
+
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
+    - On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
+        - ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
+        - On dit également que b est un multiple de a
+
+## Propositions de division
+
+- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\) 
+    a) \\( 1|a \\) 
+    b) \\( a|0 \\) 
+    c) \\( a|a \\) 
+    d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\) 
+    e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\) 
+    f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\) 
+    g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\) 
+    h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\) 
+    h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\) 
+
+
+## Algorithme de division d'euclide
+
+- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
+    - \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
+\mathbb{R}
+
+- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0  \\)
+    - On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
+        - ssi \\( n \vert (a - b) \\)
+            - On note \\( a \equiv_n b \\) 
+
+## PGCD & PPCM
+
+- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
+- **PPCM** : Plus petit commun multiple
+
+On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
+\\[
+    PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
+\\]
+
+On remarque que
+\\[
+    a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
+\\]
+
+Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
+
+\\[
+    a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
+    b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+\\[
+    PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
+    PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+
+
+
+
+## La Cryptographie
+
+Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
+Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
+
+On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
+
+### Les nombres premiers
+
+- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
+    - ssi il posséde exactement 2 diviseurs 
+        - Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)  
+
+Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
+\\[ \forall n \in \mathbb{N}  2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\] 
+On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
+
+#### Une infinitée de nombre premiers
+
+Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
+Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
+mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
+Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
+On aura donc une contradiction
+
+En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
+
+On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)

src/bac1/math/disc/relations.md

@@ -0,0 +1,172 @@
+# Les Relations
+
+- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
+    - Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
+        - \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\) 
+            - Donc \\( A \times B \neq B \times A \\) 
+    - Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
+        - \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\) 
+        - Soient \\( a \in A \quad b \in B \\) 
+            - On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\) 
+                - noté \\( aRb \\)
+            - Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\) 
+
+Par exemple:
+1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \\) 
+2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\) 
+3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de }  B \\} \\) 
+4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\) 
+
+## Représentation des relations (finies)
+
+Par exemple, pour:
+\\[
+    A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\} 
+\\]
+
+1) Représentation Cartésienne
+2) Représentation Patate
+3) Représentation Matricielle
+
+## Types de relations
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est 
+    - **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in  A \quad aRa \\) 
+        - Que tout les éléments sont en relation avec eux même
+    - **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\) 
+        - Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
+    - **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa  \\) 
+        - Toutes les relations sont toujours à double sens
+    - **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b  \\) 
+        - symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
+
+**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
+
+## Relation inverse
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times B \\) 
+    - La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\}  \\)
+
+La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
+
+On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique }  \\) 
+
+## Composition de relations
+
+- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\) 
+    - \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad  (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\) 
+
+Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\) 
+        - R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R  \\) 
+
+Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel.
+On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation
+- + équivaut à un ou
+- * équiavaut à un et
+Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
+> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3
+> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\) 
+
+## Les relations d'équivalences
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi
+         - R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive**
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
+    - Soit \\( a \in A \\) 
+        - La **Classe d'équivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
+            - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\) 
+    - **Le quotient de A par R**, noté \\( A/R \\) 
+        - \\( A/R = \\{ [a]_ R \mid a \in A \\} \\) 
+
+Par example, 
+- \\( A = \\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\\}  \\) 
+    - \\( R = \\{ (a,b) \in A^2 \mid a \equiv_3 b \\}\\) est une relation d'équivalence
+        - \\( [0]_ R = \\{ b \in A \mid 0 \equiv_3 b \\} = \\{ 0, 3 \\} = [3] _R \\) 
+
+- Soit \\( R \subseteq A^2 \\) une relation d'équivalence
+    - Soient \\( a, b \in A \\). Les affirmations suivantes sont équivalence
+        1) \\( a R b \\) 
+        2) \\( [a]_ R = [b]_ R \\) 
+        3) \\( [a]_ R \cap [b]_ R \neq \emptyset \\) 
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble.
+    - P **une Partition** de A
+        - \\( \mathcal{P} = \\{ A_ i \mid A_ i \subseteq A \\} \\) tq
+            1) \\(\cup_ {A_i \in \mathcal{P}} A_ i = A \\) 
+            2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\) 
+
+On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A
+
+## Les relations d'ordre
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble, \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - On dit que \\( R \\) est **une relation d'ordre** sur \\( A \\) ssi \\( R \\) est:
+        1) Réfléxive
+        2) Transitive
+        3) Anti-Symétrique
+    - On dit alors que \\( (A, R) \\) est un ensemble ordonné
+
+Exemple: \\( (a, =), (\mathbb{N} \leq), (\mathbb{R} \leq ), (\mathbb{R}, \geq ), (\mathbb{N}_ 0, \vert ), (2^X, \subseteq)\\) 
+
+- Soit \\( (A, R) \\)  un ensemble ordonné, Soit \\( a, b \in A \\)
+    - On dit que a et b sont **Comparables** (par rapport à R) ssi
+        - \\( a R b \lor b R a \\) 
+    - Sinon ils sont **Incomparable**
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné.
+    - On dit que l'ensemble est **Totalement ordonné** ssi
+        - Il ne contient pas de paire d'incomparable pour R
+        - \\( \forall a,b \in A \quad aRb \lor bRa\\) 
+    
+### Diagramme de Hasse
+
+Il est évidement toujours possible de faire un graphe associé à la relation mais une forme de graphe particulièrement addaptée aux Relations Ordonnées
+sont les **Diagramme de Hasse**.
+
+![Diagramme de Hasse](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Inclusion_ordering.svg "Diagramme de Hasse")
+Représentation de \\( 2^{\\{ x,y \\} } \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\). Soient \\( a, b \in A \\) 
+    - on dit que b est un successeur immédiat de a ssi
+        - \\( a \prec b \land \neg(\exists c \quad a \prec c \prec) \\) 
+
+Exemple:
+- \\( \mathbb{N} , \leq \\) 2 est succésseur immédiat de 1  
+    - \\( 1 < 2 \land \neg(\exists c \quad 1 < c < 2) \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) 
+    - On dit que a est **maximum** ssi
+        - \\( \forall b \in A \quad b \preccurlyeq a \\) 
+    - On dit que a est **maximal** ssi
+        - \\( \neg(\exists b \in A \quad a \prec b)\\) 
+    - un maximum implique qu'il soit maximal mais pas l'inverse.  
+    - Il n'éxiste pas toujours un maximum ni un maximal
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) un ensemble ordonné.
+    - Soit \\( X \subseteq A \quad a \in A \\) 
+        - On dit que a est **une borne supérieure** de x ssi
+            - \\( \forall x \in X \quad x \preccurlyeq a \\) 
+                - Une borne supérieur peut:
+                    1) Ne pas exister
+                    2) être infini
+                    3) comprendre des élements dans et hors de l'ens
+        - On dit que a est **supéremum** de X ssi
+            - a est le minimum des bornes supérieure de X
+    - On dit que cet ensemble est un **Treilli** ssi
+        - toute les paire d'éléments de A, \\( \\{ a, b \\} \subseteq A \\) possédent un infinum et un supremum
+    - C'est un ensemble **Bien-Ordonné** ssi
+        - \\( \forall X \subseteq A \quad  X \neq \emptyset \quad X \text{ posède un minimum } \\) 
+        - Ca nous permet par exemple de faire des preuves par inductions
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné
+    - Soit \\( \preccurlyeq \subseteq A^2 \\) un ordre Total sur A.
+        - On dit que \\( \preccurlyeq \\) est **compatible** avec \\( R \\) ssi
+            - \\( \forall a, b \in A \quad aRb \implies a \preccurlyeq b \\) 
+
+Par exemple: Un tri topologique.
+A la manière de la construction d'une maison, On peut y aller dans un ordre qui est "compatible".

src/bac1/phys/elec/chap1.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+# Les Forces Electriques
+
+\\[ |F| = k\frac{|Qq|}{r^2}\\]
+\\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon _0} = 9*10^9\\]
+\\[ \varepsilon = 8,85 * 10^{-12} C^2/(Nm)^2\\]

src/bac1/phys/elec/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Electromagnétisme

src/bac3/GraphOpti/Algos.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+# Algos
+
+## Décompisition de graph en niveaux
+
+1) Calculer \\( d^- \\)
+2) incrémenter *layer*
+3) pour chaques sommets, si \\( d^-(s) = 0 \\) alors définir sommets à layer
+4) retirer sommets
+5) recommencer jusqu'a ce qu'il n'y ai plus de sommets à explorer.
+
+Il est possible d'incrémenter layer à chaque fois qu'un sommet est trouvé pour optenir une nouvelle
+numérotation du graph qui respecterait l'ordre.
+
+Cet algo ne fonctionnerais pas pour des graph cycliques.
+
+## Exploration de graph
+
+- Exploration en **Largeur** avec une **file** (BFS)
+- Exploration en **Profondeur** avec une **pile** (DFS)
+
+## Composantes connexes
+
+On parle de composantes connexe comme un sous-graph tel qu'il existe une chaine entre chaques paire
+de sommets.
+
+Un sommet qui augmente les composants connexe si enlevé est appelé un **point d'articulation**
+
+pour un graph non-dirigé: pour chaque sommets, faire une exploration et regrouper les sommets
+visités en composants puis le supprimer pour continuer l'exploration.
+
+Pour un graph dirigé, faire une detection de composantes fortements connexes.
+
+## Détection d'un graph bi-partie
+
+Pour la detection d'un graph bi-partie, il faut pour chaques sommets passer d'une couleur à l'autre.
+si ça n'est pas possible, le graph n'est pas bi-partie.
+
+
+
+

src/bac3/GraphOpti/Definitions.md

@@ -0,0 +1,42 @@
+# Définitions
+
+- **Un graph**: \\( G = (X, U) \\) où \\( X \\) est l'ensemble de sommets et \\( U \\) est
+  l'ensemble de couple de sommets
+    - **Orienté**: si le sens est pris en compte
+    - **Non-orienté**: sinon
+    - soit \\( u = (x, y) \in U \\) on a que \\( x \\) est le **prédécesseur** et \\( y \\) est le
+      **succésseur**.
+
+Dans le cas d'un **graph orienté**,
+
+- \\( d^+(x) \\) le demi-degré extérieur, le nombre d'axe sortant
+- \\( d^-(x) \\) le demi-degré intérieur, le nombre d'axe entrant
+- \\( d(x) \\) le degré, le nombre d'axe en lien
+
+- La **Densité d'un graph**:
+    - \\( \frac{||U||}{||X||(||X||-1)} \\) en pourcentage si **orienté**.
+    - \\( \frac{2||U||}{||X||(||X||-1)} \\) en pourcentage si **non-orienté**.
+    - Nous avons régulièrement des graphs peu dense.
+
+- Un **Chemin** de largeur q est une séquence d'arc
+- Un **Cycle** si cette chaine boucle
+
+- Un graph **Connexe** possède une lien entre tout sommets.
+    - Si ça n'est pas le cas, il possède des **sous-graph**
+    - Un graph **Fortement connexe** si une chaine existe entre tout sommets 
+
+- Un graph est **Eulérien** s'il passe exactement 1 fois par chaque sommets
+    - Jeu de l'enveloppe
+    - On peut chercher à minimiser le nombre d'arc dans un graph non-eulérien: postier chinois
+
+- Un graph est **Hamiltonien** s'il passe exclusivement une fois par chaques sommets
+    - Voyageur de commerce
+
+- Un graph **Bi-partie** peut être divisé en deux groupe. Les éméteurs et les receveurs.
+
+- Un graph est **Planaire** si on peut lne pas croiser d'arc **dans le plan**
+    - utile pour les circuits imprimés
+    - sa desitée maximale est \\( A_{max} = 3(S-2) \\) 
+
+- Un **Arbre** ne posède pas de cycle. Il est **exactement** convexe
+    - Un ensemble d'arbre est une **Foret**

src/bac3/GraphOpti/complexite.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Complexité
+
+la **Complexité** \\( A \\) est une fonction non décroissante \\( f_A(k) \\) le nombre
+d'instructions caractéristiques éxécuté par A pour une donnée de taille \\( k \\) 
+
+On parle de la **compléxité d'un problème** lorsque c'est celle du meilleur algo connu pour résoudre
+ce problème.
+
+Un problème d'optimisation est 
+\\[
+    f(s^*) = \min_{s \in S}\\{f(s)\\} 
+\\] 
+
+Un problème d'éxistance est un sous problème d'optimisation ou tq 
+
+Un problème d'optimisation est au moins aussi difficile que le problème d'existance associé
+
+- **facile**: existe un algorithme polynomiale
+- **difficile**: n'existe pas actuellement.
+
+On donne la class **P** aux problèmes polynominaux et **NP** aux problème *vérifiables* en temps
+polynominal.
+
+\\[
+    NP \subseteq P
+\\]

src/bac3/GraphOpti/complexité.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Complexité

src/bac3/GraphOpti/liste_dadjacence.svg

@@ -0,0 +1,498 @@
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+<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) -->
+
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+      <text
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+      <text
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+           id="tspan11"
+           x="75.597572"
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+           style="stroke-width:0.264583">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.156601"
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+         id="text14"><tspan
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+           id="tspan14"
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+           x="80.156601"
+           y="149.68181">4</tspan></text>
+      <text
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+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
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+      <text
+         xml:space="preserve"
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+         y="149.68004"
+         id="text17"><tspan
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+           id="tspan17"
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+           x="100.17248"
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+           id="tspan18" /></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
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+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect19"
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+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:5.64444px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
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+           id="tspan20"
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+           x="61.700718"
+           y="160.54333">Succ</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
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+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
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+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
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+      <rect
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+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect24"
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+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="75.116035"
+         y="159.8593"
+         id="text24"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan24"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="75.116035"
+           y="159.8593">2</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.184822"
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+         id="text25"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan25"
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+           x="80.184822"
+           y="159.83636">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="85.156601"
+         y="159.8399"
+         id="text26"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan26"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="85.156601"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="90.597572"
+         y="159.8399"
+         id="text27"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan27"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="90.597572"
+           y="159.8399">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="95.184822"
+         y="159.83636"
+         id="text28"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan28"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="95.184822"
+           y="159.83636">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="100.1566"
+         y="159.8399"
+         id="text29"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan29"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.1566"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:3.52777px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="105.1566"
+         y="159.8399"
+         id="text30"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan30"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="105.1566"
+           y="159.8399">4</tspan></text>
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect30"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="103.68182"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 76.153196,150.97137 v 5.21535"
+         id="path30"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect1"
+         inkscape:connection-end="#rect19" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 83.586106,150.97137 5.134181,5.21535"
+         id="path31"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect6"
+         inkscape:connection-end="#rect22"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 93.624569,150.17363 10.057251,6.81084"
+         id="path32"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect8"
+         inkscape:connection-end="#rect30"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+         d="m 96.153196,148.5 v 0"
+         id="path33"
+         inkscape:connector-type="orthogonal"
+         inkscape:connector-curvature="6"
+         inkscape:connection-start="#rect10"
+         inkscape:connection-end="#rect10" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 98.586106,150.97137 5.134184,5.21535"
+         id="path34"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-start="#rect10"
+         inkscape:connection-end="#rect30"
+         sodipodi:nodetypes="cc" />
+      <rect
+         style="opacity:0.99;fill:none;fill-opacity:0.501676;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.0572549;stroke-linecap:round;paint-order:fill markers stroke"
+         id="rect35"
+         width="4.9427452"
+         height="4.9427452"
+         x="108.68182"
+         y="156.18672"
+         inkscape:connector-avoid="true" />
+      <path
+         style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#ArrowWide)"
+         d="m 103.58611,150.97137 5.13418,5.21535"
+         id="path35"
+         inkscape:connector-type="polyline"
+         inkscape:connector-curvature="7"
+         inkscape:connection-end="#rect35"
+         sodipodi:nodetypes="cc"
+         inkscape:connection-start="#rect9" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="75.708694"
+         y="145.13986"
+         id="text2"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan2"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="75.708694"
+           y="145.13986">1</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="80.323463"
+         y="145.1554"
+         id="text3"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan3"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="80.323463"
+           y="145.1554">2</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="85.378494"
+         y="145.13704"
+         id="text4"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan4"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="85.378494"
+           y="145.13704">3</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="90.355911"
+         y="145.13986"
+         id="text5"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan5"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="90.355911"
+           y="145.13986">4</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="95.371437"
+         y="145.12294"
+         id="text6"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan6"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="95.371437"
+           y="145.12294">5</tspan></text>
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:2.82223px;line-height:1.25;font-family:'Highway Gothic';-inkscape-font-specification:'Highway Gothic';stroke-width:0.264583"
+         x="100.36861"
+         y="145.13846"
+         id="text7"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan7"
+           style="stroke-width:0.264583"
+           x="100.36861"
+           y="145.13846">6</tspan></text>
+    </g>
+  </g>
+</svg>

src/bac3/GraphOpti/rpz.md

@@ -0,0 +1,32 @@
+# Représentation
+
+Les graphs peuvent être représenté à l'aide de matrice d'adjacence tel que
+\\[
+    \begin{cases}
+        (i, j) = 1 &\text{ si } (i,j) \in U\\\\
+        0 &\text{ sinon }
+    \end{cases}
+\\]
+
+On y trouve facilement les successeurs en ligne et les prédécesseurs en colones. Mais il faut faire
+énormément d'opérations pour vérifier un sommet...
+
+Nous adoptons alors les **listes d'adjacences**. Cette structure possède 2 liste. Une est la
+tête (head) et possède autant d'espace que de sommets et est remplie avec des pointeurs vers la
+deuxième liste, celle-ci contient les successeurs d'un sommet.
+
+![liste d'adjacence](./liste_dadjacence.png)
+
+On peut alors transformer la liste de successeurs en liste de prédécésseurs
+
+1) calculer \\( d^- \\) 
+2) placer dans le nouveau head \\( 1 + \sum^j_i d^-_i\\) où j est la position
+3) pour chaques arcs \\( (i,j) \\) dans l'ordre de succ,
+    1) réduire \\( Head_j \\) de 1
+    2) placer i dans \\( Pred_{(Head_j)} \\) 
+
+![list d'adjacence_pred](liste_adjacence_pred.jpg)
+
+
+**Remarque**: une fois un graph sous cette forme il est souvent plus difficile de le remttre sous
+forme de dessin car les nodes n'ont pas de place définies.

src/bac3/Stats/Introduction.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+# Introduction
+
+On parle de phénomènes aléatoires car nous ne contrôlons pas tout les paramètres de ces évènements.
+
+Nous appliquons alors différentes méthodes d'analyse statistiques.
+
+## Méthode
+
+- **Statistique descriptive**: Peu vu dans ce cours, Se concentre sur les données elle même pour en
+  tirer des conclusions.
+- **Inférence Statistiques:** Déduire d'un échantillon de données, des propriétés intrinsèque.
+
+## Méthode générale
+
+1) Construction d'un échantillon (Observation) -> non vu en cours.
+2) Exploration des données (Statistique descriptive) -> peu vu en cours.
+3) Modèle probabiliste.
+    - ex: Le nombre de voiture \\(\sim \mathbb{P}(\lambda) \\) (suit une loi de poisson)
+4) Estimation du/des paramètres inconnus (inférence)
+5) Prédiction
+
+Le cours porte principalement sur le point 3 et 4
+
+## Stats vs Proba
+
+- La **Probabilité**: Théorie abstraite, mathématique, qui donne un sens à la notion de hasard.
+Fournit des modèles théoriques pour l'analyse aléatoire.
+- Les **Statistiques**: Méthode pour determiner le meilleur modèle probabiliste pour représenter un
+  phénomène concret, basé sur des observations.
+
+Les statistiques utilisent régulièrement les probas.
+
+
+
+
+
+

src/bac3/Stats/StatDesc.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Statistique descriptive
+
+## De dimensions 1
+
+\\( n \\) observations \\( \\{x_1, \dots, x_n\\} \\) sur un caractère fixé.
+
+Pour résumer l'information obtenue nous allons fournir.
+
+### Indicateur de position
+
+- <u>Moyenne empirique</u>: \\( \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_i^n x_i \\) 
+- <u>Médiane</u>: \\( m = inf\\{x_i \vert \text{la moitié des observation sont } \leq x_i\\} \\) 
+- <u>Valeur extrèmes</u>: \\( x_{(1)} = min\\{x_i\\} , x_{(n)} = max\\{x_i\\}\\)
+
+### Indicateur de dispersion
+
+
+

src/math/all/chap1.md

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-# Titre à définir
-
-## Etudions \\( R^2 \\)
-
-- \\(R^2\\) est un ensemble tq \\( \\{ (a,b)  \vert a \in \mathbb{R} \land b \in \mathbb{R} \\} \\)
-
-## Sous-Espaces Vectoriels
-
-- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R} ^n\\)
-    - On dit que V est un **Sous-Ensemble Vectoriel** de \\(\mathbb{R}^n\\) ssi
-        1) \\(V \neq \emptyset \\)
-        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V v_1 + v_2 \in V \\)
-        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \lambda * v \in V \\)
-